Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=1．且對于任意實(shí)數(shù)x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ．則sinθ等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用判別式△的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，
∴不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²恒成立，
即|$\overrightarrow{a}$|²+x²|$\overrightarrow$|²+2x|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$cosθ≥|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ，
則x²+2$\sqrt{3}$xcosθ≥1+2$\sqrt{3}$cosθ，
即x²+2$\sqrt{3}$xcosθ-（1+2$\sqrt{3}$cosθ）≥0恒成立，
則判別式△=12cos²θ+4（1+2$\sqrt{3}$cosθ）≤0，
即（$\sqrt{3}$cosθ+1）²≤0，
則$\sqrt{3}$cosθ+1=0，則cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sinθ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．