Question

6．已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分別為邊AB，BC上的點，M，N是平面上兩點，若$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，且直線MN經(jīng)過△ABC的外心，則$|\overrightarrow{BP}|$=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 建立坐標系，利用坐標法將直角三角形放入坐標系中，根據(jù)$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，得到A是PM的中點，以及PQ⊥BC，結(jié)合三角形的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解即可．

解答 解：建立坐標系將，將直角三角形放入坐標系中，
若$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AM}$=0，則$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MA}$，
即A是PM的中點，
∵直線MN經(jīng)過△ABC的外心，
∴直線MN經(jīng)過BC的中點E，
∵（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即PQ⊥BC，AE⊥BC，
則PN∥AE，PN=2AE=2×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{PN}$=3$\overrightarrow{PQ}$，
∴PN=3PQ=3$\sqrt{2}$，
即PQ=$\sqrt{2}$，
直線BC的方程為x+y-3=0，
設(shè)P（0，m），0＜m＜3，
則PQ=$\frac{|m-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即|m-3|=2，
則m=1或m=5（舍），
即P（0，1），則$|\overrightarrow{BP}|$=|BP|=2，
故選：D．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，利用坐標法結(jié)合數(shù)形結(jié)合，條件中點坐標公式以及直線垂直的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．