Question

6．已知數列{a_n}的首項a₁=4，前n項和為S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）證明數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設函數f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函數f（x）的導函數，求f′（1）．

Answer 1

分析 （1）根據S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺），求得S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0兩式相減求得a_n+1-3a_n+2=0，判斷出{a_n+1}是一個等比數列．進而根據首項和公比求得數列的通項公式；
（2）令b_n=f′（1），得b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁．利用錯位相減法得出{b_n}的通項公式．從而得到f′（1）．

解答 證明：（1）∵S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）  ①
∴S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0（n∈N⁺）  ②
①-②得a_n+1-3a_n+2=0，
即a_n+1+1=3（a_n+1）
∴{a_n+1}是首項為5，公比為3的等比數列．
∴a_n+1=5•3^n-1，
即a_n═5•3^n-1-1．
（2）∵f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，
∴f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+na₁x^n-1
設b_n=f′（1），∴b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁③
∴3b_n=3a_n+3•2a_n-1+…+3•na₁
=a_n+1+2a_n+…+na₂④
④-③，得
2b_n=a_n+1+a_n+…+a₂-na_1
=S_n+1-（n+1）a₁
=$\frac{{a}_{1}（1-{3}^{n+1}）}{1-3}$-（n+1）a₁
=2（3ⁿ⁺¹-1）-4（n+1）
=2•3ⁿ⁺¹-4n-6
∴$_{n}={3}^{n+1}-2n-3$．

點評 本題考查等比數列的證明，考查導數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．