已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(mR).
(1)若曲線y=f(x)過點(diǎn)P(1,-1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2>e2.
(1);(2)①當(dāng)
時(shí),
;②當(dāng)
時(shí),
③當(dāng)時(shí),
;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)根據(jù)題意首先由點(diǎn)在曲線
上,運(yùn)用待定系數(shù)的方法求出
,再由切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出切線方程為
;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得:
,分析m對(duì)導(dǎo)數(shù)的影響,可見要進(jìn)行分類討論:①當(dāng)
時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,利用單調(diào)性可求出最大值;②當(dāng)
,即
時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,利用單調(diào)性可求出最大值;③當(dāng)
,即
時(shí),導(dǎo)數(shù)有下有負(fù),列表可求出函數(shù)的最大值;④當(dāng)
,即
時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,利用單調(diào)性可求出最大值;(3)顯然兩零點(diǎn)均為正數(shù),故不妨設(shè)
,由零點(diǎn)的定義可得:
,即
,觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡(jiǎn)得:
,現(xiàn)在我們要證明
,即證明
,也就是
.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/1/icghf.png" style="vertical-align:middle;" />,所以即證明
,即
.由它的結(jié)構(gòu)可令
=t,則
,于是
.構(gòu)造一新函數(shù)
,將問題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零,即可得證.
試題解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線
上,所以
,解得
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3f/59/3ff599566bde966ebb557629035a9efc.png" style="vertical-align:middle;" />,所以切線的斜率為0,所以切線方程為. 3分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ed/a/xbeft1.png" style="vertical-align:middle;" />.
①當(dāng)時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,則
.
②當(dāng),即
時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,則
5分
③當(dāng),即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
則. 7分
④當(dāng),即
時(shí),
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,則
9分
綜上,①當(dāng)時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),曲線
在點(diǎn)
處的切線方程為
。
(1)求、
的值;
(2)如果當(dāng),且
時(shí),
,求
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù),當(dāng)
時(shí),討論
的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在
處取得極小值,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在
時(shí)取得極小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)是否存在區(qū)間,使得
在該區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/c/tcyos1.png" style="vertical-align:middle;" />?若存在,求出
,
的值;
若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
滿足
,且
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)已知,求
在
處的切線方程;
(2)若存在,使得
成立,求
的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),
為坐標(biāo)原點(diǎn),若對(duì)于
在
時(shí)的圖象上的任一點(diǎn)
,在曲線
上總存在一點(diǎn)
,使得
,且
的中點(diǎn)在
軸上,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)的定義域是
,其中常數(shù)
.
(1)若,求
的過原點(diǎn)的切線方程.
(2)當(dāng)時(shí),求最大實(shí)數(shù)
,使不等式
對(duì)
恒成立.
(3)證明當(dāng)時(shí),對(duì)任何
,有
.
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