Question

9．已知在平面直角坐標系xOy中，直線l過點P（$\sqrt{3}$，0），且傾斜角為$\frac{π}{3}$，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．半徑為4的圓C的圓心的極坐標為（4，$\frac{π}{2}$）
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關系．若相交，求相交弦的長．

Answer 1

分析 （1）直線l過點P（$\sqrt{3}$，0），且傾斜角為$\frac{π}{3}$，可得參數(shù)方程．圓心的極坐標為（4，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標：（0，4），可得直角坐標方程：x²+（y-4）²=16，展開利用互化公式即可得出極坐標方程．
（2）直線l的普通方程為：y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}$x-y-3=0．求出圓心（0，4）到直線l的距離d與r比較可得位置關系，若相交，可得弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-prfwjqj^{2}}$．

解答 解：（1）∵直線l過點P（$\sqrt{3}$，0），且傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
圓心的極坐標為（4，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標：（0，4），
∴直角坐標方程：x²+（y-4）²=16，展開為：x²+y²-8y=0，
可得極坐標方程：ρ²-8ρsinθ=0，即ρ=8sinθ．
（2）直線l的普通方程為：y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}$x-y-3=0．
圓心（0，4）到直線l的距離d=$\frac{|-4-3|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{7}{2}$＜r=4，
∴直線l與⊙C相交，弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-d1lrt6z^{2}}$=$2\sqrt{16-\frac{49}{4}}$=$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程、直線與圓相交弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．