Question

（文科）數(shù)列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）證明數(shù)列[a_n-1-a_n]是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=2（1-

1

an

），當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在 x=

t

的導(dǎo)數(shù)等于零尋找a_n+1，a_n，a_n-1之間的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；在此基礎(chǔ)上求出數(shù)列a_n+1-a_n的通項(xiàng)公式，按照迭加的方法即可求出a_n．
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)已知條件確定出關(guān)于n的不等式，通過解不等式求出正整數(shù)n的最小值；

解答：解析：（1）f’（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）
由題可知f’（

t

）=0即3a_n-1（

t

）²-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0 （n≥2）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1 ） （n≥2）
∵t＞0且t≠1，a₂-a₁=t（t-1）≠0
∴數(shù)列{ a_n+1-a_n }=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t，a₃-a₂=（t-1）t²，…a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩別分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+…+t^n-1）
∴a_n=tⁿ（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)成立∴a_n=tⁿ
當(dāng)n=2時(shí)成立∴b_n=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-（ 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-

1-\f(1

2n

，1-

1

2

)
=2n-2（ 1-

1

2n

）=2n-2+

2

2n

又S_n+1-S_n=2-

1

2n

＞0，所以數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列
S_n＞2010，得2n-2+2（

1

2

）ⁿ＞2010，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
當(dāng)n≤1005時(shí)，n+（

1

2

）ⁿ＜1006
當(dāng)n≥1006時(shí)，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
因此當(dāng)S_n＞2010時(shí)，n的最小值為1006．

點(diǎn)評：本題屬于函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問題，首先通過數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，得出數(shù)列某些項(xiàng)之間的關(guān)系，然后利用數(shù)列的知識實(shí)現(xiàn)求通項(xiàng)和求前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查分析法證明不等式的思想和意識．