Question

（文科）數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為21，公差d≠0的等差數(shù)列，記前n項(xiàng)和為S_n，若

1

10

S₁₀和

1

19

S₁₉的等比中項(xiàng)為

1

16

S₁₆．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；（2）數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n最大時n的值．

Answer 1

分析：（1）由首項(xiàng)為21，公差為d設(shè)出此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而表示出

1

10

S₁₀，

1

19

S₁₉以及

1

16

S₁₆，由

1

10

S₁₀和

1

19

S₁₉的等比中項(xiàng)為

1

16

S₁₆，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，代入設(shè)出的通項(xiàng)公式即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）令（1）求出的通項(xiàng)公式大于0，求出n的范圍，進(jìn)而得到n小于10，b_n=a_na_n+1a_n+2大于0，n大于11，b_n=a_na_n+1a_n+2小于0，根據(jù)遞推公式T_n=T_n-1+b_n，可得當(dāng)b_n＞0時，T_n＞T_n-1；當(dāng)b_n＜0時，T_n＜T_n-1，從而得到n小于10，，T_n}遞增；當(dāng)n大于11時，{T_n}遞減，同時利用通項(xiàng)a_n，求出b₁₀以及b₁₁的值，即可得到數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n最大時n的值．

解答：解：（1）設(shè)a_n=21+（n-1）d（d≠0），
則S_n=21n+

n(n-1)

2

d，
∴

1

n

S_n=21+

n-1

2

d，
∴

1

10

S₁₀=21+

9

2

d，

1

19

S₁₉=21+9d，

1

16

S₁₆=21+

15

2

d．
由題設(shè)可知：（

1

16

S₁₆）²=（

1

10

S₁₀）•（

1

19

S₁₉），
即（21+

15

2

d）²=（21+

9

2

d）•（ 21+9d），解得d=-2，
∴a_n=21-2（n-1）=23-2n；
（2）由a_n=23-2n＞0，得n＜12．
∴當(dāng)n＜10時，b_n=a_na_n+1a_n+2＞0；
當(dāng)n＞11時，b_n=a_na_n+1a_n+2＜0．
而T_n=T_n-1+b_n，
∴當(dāng)b_n＞0時，T_n＞T_n-1；當(dāng)b_n＜0時，T_n＜T_n-1．
∴當(dāng)n＜10時，{T_n}遞增；當(dāng)n＞11時，{T_n}遞減．
又b₁₀=a₁₀a₁₁a₁₂=-3，b₁₁=a₁₁a₁₂a₁₃=3，
∴T₉=T₁₁，
∴當(dāng)n=9或11時，{ T_n}取最大值．

點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的遞推式，以及數(shù)列的函數(shù)特征，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．