Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$，（其中a≠0）的圖象不間斷．
（1）求m，n的值；
（2）若a，b互為相反數(shù)，且f（x）是R上的單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a=1，b∈R，試討論函數(shù)g（x）=f（x）+b的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的圖象不間斷，可得f（0）=1，f（4）=0，解方程可得m，n；
（2）運用指數(shù)函數(shù)的單調性，可得a＜0，求出三次函數(shù)的導數(shù)，求出對稱軸，判別式小于等于0，解不等式可得a的范圍；
（3）由題意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，求得函數(shù)y的單調區(qū)間和極值，對b討論，①當b＞0時，②當b＜-1時，③當-1＜b＜0時，④當b=0時，⑤當b=-1時，運用解方程和函數(shù)零點存在定理，即可得到零點個數(shù)．

解答 解：（1）由f（x）的圖象不間斷，可得f（0）=1，f（4）=0，
即為n=1，64a+16（b-4a）-4（4b+m）+n=0，解得m=$\frac{1}{4}$，n=1；
（2）由y=2^-x在R上遞減，可得f（x）是R上的單調函數(shù)，
則在y=a（log₄x-1）中，y′=$\frac{a}{xln4}$＜0，故a＜0；
在y=ax³+（b-4a）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1中，由a+b=0，y′=3ax²-10ax+4a-$\frac{1}{4}$，
對稱軸為x=$\frac{5}{3}$，△=100a²-12a（4a-$\frac{1}{4}$）≤0，解得-$\frac{3}{52}$≤a＜0；
（3）由題意可得y=x³+（b-4）x²-（4b+$\frac{1}{4}$）x+1，y′=3x²+2（b-4）x-（4b+$\frac{1}{4}$），
△=4（b-4）²+12（4b+$\frac{1}{4}$）=4b²+16b+67＞0，
所以關于x的方程，y′=0有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
當x＜x₁時，y′＞0，函數(shù)y遞增；當x₁＜x＜x₂時，y′＜0，函數(shù)y遞減；當x＞x₂時，y′＞0，函數(shù)y遞增．
即有函數(shù)y在x₁處取得極大值，在x₂處取得極小值．
①當b＞0時，2^-x+b=0無解，log₄x-1+b=0無解．
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＞0，f（2）+b=8+4（b-4）-2（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{15}{2}$-3b＜0，
f（x）+b=0在（0，4）有兩解，則g（x）=f（x）+b共有2個零點；
②當b＜-1時，2^-x+b=0有一解x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-b），log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＜0，f（4）+b=b＜0，f（$\frac{1}{2}$）+b=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$（b-4）-$\frac{1}{2}$（4b+$\frac{1}{4}$）+1+b=-$\frac{3}{4}$b＞0，
則f（x）+b=0在（0，4）有4解，則g（x）=f（x）+b共有4個零點；
③當-1＜b＜0時，2^-x+b=0無解，log₄x-1+b=0有一解x=4^1-b，
又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＜0，
則f（x）+b=0在（0，4）有2解，則g（x）=f（x）+b共有2個零點；
④當b=0時，有x=4和x=$\frac{1}{2}$兩個解；
⑤當b=-1時，有x=0，x=16，x=$\frac{5-\sqrt{10}}{2}$三個解．
綜上可得，當b＞-1時，g（x）有2個零點；當當b=-1時，g（x）有3個零點；
當b＜-1時，g（x）有4個零點．

點評 本題考查函數(shù)的性質和應用，主要是函數(shù)的單調性和函數(shù)的零點個數(shù)，注意運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，以及轉化思想和分類討論思想方法，正確分類和運用零點存在定理是解題的關鍵，屬于難題．