Question

19．函數(shù)g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{g（x）+x（x＜g（x））}\\{g（x）-x（x≥g（x））}\end{array}}$，則f（x）的值域?yàn)?[-\frac{9}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 由x²-2＞x，解得x＞2，或x＜-1．可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＞2或x＜-1}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$，通過分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由x²-2＞x，解得x＞2，或x＜-1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2，x＞2或x＜-1}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$，
①-1≤x≤2時(shí)，f（x）=x²-x-2=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$，可知：函數(shù)f（x）在$[-1，\frac{1}{2}]$內(nèi)單調(diào)遞減；在$（\frac{1}{2}，2]$內(nèi)單調(diào)遞增．
f（-1）=0，f（2）=0．∴f（x）∈$[-\frac{9}{4}，0]$．
②x＞2，或x＜-1時(shí)，f（x）=x²+x-2=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$，利用單調(diào)性可得：f（x）＞f（-1）=-2，或f（x）＞f（2）=4，可得f（x）∈（-2，+∞）．
綜上可得：f（x）∈$[-\frac{9}{4}，+∞）$．
故答案為：$[-\frac{9}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．