Question

下列命題中
①命題“?x∈R，x²-x-2＜0”的否定是“?x∈R，x²-x-2≥0”；
②命題“若m，n都是奇數(shù)，則m+n是偶數(shù)”的逆否命題是“若m+n不是偶數(shù)，則m，n都不是奇數(shù)”
③lnx＜lny是（

1

2

）^x＞（

1

2

）^y的充分不必要條件
④關(guān)于x的不等式m＜cos²x+

2

cos2x

恒成立，則m的取值范圍是m＜3．
正確命題的個數(shù)是（　　）個．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用命題的否定可判斷①的正誤；
②利用原命題與逆否命題的關(guān)系可判斷②的正誤；
③利用充分必要條件的概念及應用可判斷③的正誤；
④令t=cos²x（0≤t≤1），利用雙鉤函數(shù)f（t）=t+

2

t

在[0，1]上單調(diào)遞減的性質(zhì)可求得f（t）_min=f（1）=3，從而可求得m的取值范圍是m＜3，從而可判斷④之正誤．

解答： 解：①命題“?x∈R，x²-x-2＜0”的否定是“?x∈R，x²-x-2≥0”正確；
②命題“若m，n都是奇數(shù)，則m+n是偶數(shù)”的逆否命題是“若m+n不是偶數(shù)，則m+n不都是奇數(shù)”，故②錯誤；
③lnx＜lny⇒0＜x＜y⇒（

1

2

）^x＞（

1

2

）^y，即充分性成立；
（

1

2

）^x＞（

1

2

）^y⇒x＜y，不一定是0＜x＜y，故必要性不成立；
因此，③lnx＜lny是（

1

2

）^x＞（

1

2

）^y的充分不必要條件，正確；
④令t=cos²x（0≤t≤1），則雙鉤函數(shù)f（t）=t+

2

t

在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（t）_min=f（1）=3；
關(guān)于x的不等式m＜cos²x+

2

cos2x

恒成立?m＜f（t）_min=3恒成立，故m的取值范圍是m＜3，故④正確；
綜上所述，①③④正確，即正確命題的個數(shù)是3個，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查命題的否定、原命題與逆否命題的關(guān)系、充分必要條件的概念及應用，突出考查雙鉤函數(shù)f（t）=t+

2

t

的單調(diào)性質(zhì)及應用，屬于中檔題．