Question

曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρcos²θ=sinθ，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=3-t y=1-t

，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C₁上的點(diǎn)與曲線C₂上的點(diǎn)最近的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρcos²θ=sinθ，化為ρ²cos²θ=ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程x²=y．曲線C₂的參數(shù)方程為

x=3-t y=1-t

，化為直角坐標(biāo)方程x-y-2=0．設(shè)P（x，x²）為曲線C₁：x²=y上的任意一點(diǎn)．利用點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：由曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρcos²θ=sinθ，化為ρ²cos²θ=ρsinθ，化為x²=y．
曲線C₂的參數(shù)方程為

x=3-t y=1-t

，化為x-y-2=0．
設(shè)P（x，x²）為曲線C₁：x²=y上的任意一點(diǎn)．
則曲線C₁上的點(diǎn)P到曲線C₂上的點(diǎn)的距離d=

|x-x2-2|

2

=

|(x- 1 2 )2+ 7 4 |

2

≥

7 2

8

．當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

，即取點(diǎn)P(

1

2

，

1

4

)時(shí)取等號(hào)．
∴曲線C₁上的點(diǎn)與曲線C₂上的點(diǎn)最近的距離為

7 2

8

．
故答案為：

7 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．