Question

設(shè)y=x³+x（x∈R），當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用奇函數(shù)f（x）=x³+x單調(diào)遞增的性質(zhì)，可將不等式f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為msinθ＞-m恒成立，由0≤θ≤

π

2

，可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x³+x為奇函數(shù)；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x³+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（msinθ）+f（m）＞0恒成立?f（msinθ）＞f（-m）恒成立，
∴msinθ＞-m（0≤θ≤

π

2

）恒成立?m（1+sinθ）＞0恒成立，
由0≤θ≤

π

2

知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，∴m＞0，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．