Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=3a_n-2（n∈N₊）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a_n+1=3a_n-2（n∈N₊），變形為a_n+1-1=3（a_n-1），即可證明．
（II）由（I）可得log₃（a_n-1）=n．可得b_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．可得

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （I）證明：∵a_n+1=3a_n-2（n∈N₊），
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，a₁-1=3．
∴a_n-1=3ⁿ，
∴an=3n+1．
（II）解：由（I）可得log₃（a_n-1）=n．
∴b_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．