Question

（2011•佛山二模）已知雙曲線x²-y²=1的一條漸近線與曲線y=

1

3

x3+a相切，則a的值為

2

3

或-

2

3

．

Answer 1

分析：求出雙曲線的漸近線方程為y=±x，結(jié)合題意可得曲線y=

1

3

x3+a與直線y=x相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于a的方程，解出切點(diǎn)坐標(biāo)，再將其代入切線方程即可得到實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：∵雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x
∴曲線y=

1

3

x3+a與直線y=±x相切
可得y'

|

x=x0

=1或-1
即x02=1（舍負(fù)），解之得切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（-1，-1）
當(dāng)切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，代入y=

1

3

x3+a得a=

2

3

；
當(dāng)切點(diǎn)為（-1，-1）時(shí)，代入y=

1

3

x3+a得a=-

2

3

綜上所述，a的值為

2

3

或-

2

3

故答案為：

2

3

或-

2

3

點(diǎn)評：本題給出雙曲線的漸近線與已知曲線相切，求參數(shù)a的值，著重考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識，屬于中檔題．