Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：“對于區(qū)間（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立”．
（Ⅰ）求f（0）的值，并指出f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）用增函數(shù)的定義證明：函數(shù)f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)；
（Ⅲ）判斷f（x）是否為R上的增函數(shù)，如果是，請給出證明；如果不是，請舉出反例．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質即可求f（0）的值，
（Ⅱ）利用增函數(shù)的定義即可證明函數(shù)f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)；
（Ⅲ）利用舉反例即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=-f（-0），即f（0）=0．-----------------------------（2分）
f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．-----------------------------------（4分）
（Ⅱ）法1：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且△x=x₁-x₂＞0，則-x₁＞0，-x₂＞0，----------------（5分）
因為對于區(qū)間（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，
所以f（-x₂）=f（-x₁+△x）＞f（-x₁），即f（-x₂）-f（-x₁）＞0．-------------------（7分）
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以△y=f（x₁）-f（x₂）=f（-x₂）-f（-x₁）＞0-----------------------（8分）
所以函數(shù)f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)．-------------------------（9分）
法2：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，且x₂-x₁＞0，------（5分）
因為對于區(qū)間（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，
所以f[-x₂+（x₂-x₁）]＞f（-x₂），即f（-x₁）＞f（-x₂）．-----------------------------（7分）
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），-----------------------（8分）
所以函數(shù)f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)．-------------------------------（9分）
（Ⅲ）f（x）不一定是R上的增函數(shù)．----------------------------（10分）
反例如下：
令f(x)=

- 1 x ，x≠0 0，x=0

或者f(x)=

x-1，x＞0 0，x=0 x+1，x＜0

---------------------------（12分）
學生用畫圖方式舉反例也可以．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，利用定義法是解決本題的關鍵．