【題目】 已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)是否存在直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若直線存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）不存在,詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意，得到，聯(lián)立即得解；

（2）點(diǎn)差法得到直線l的斜率，即直線方程為，代入雙曲線的方程聯(lián)立，驗(yàn)證即可.

解：（1）由離心率，得.①

又雙曲線上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為，則.②

由①②，解得，則，

∴雙曲線的方程為.

（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

設(shè)，則有

兩式作差，得，即.

又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，

∴直線的斜率，

則直線的方程為，即，

代入雙曲線的方程，得，

，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

∴過(guò)點(diǎn)不存在直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線、.

（1）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線、分別交拋物線于、兩點(diǎn)（均不與重合，如圖），記直線的斜率為正數(shù)，若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求的值.

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（Ⅰ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

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【題目】已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒(méi)有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有（ ）種

A. 19B. 7C. 26D. 12

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（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案