【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接，,取的中點(diǎn)，連接，，所以為等腰直角三角形，故，而，所以平面，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算得線面角的正弦值為.

試題解析：

（1）在直角梯形中，，

取中點(diǎn)，連接，

則四邊形為正方形，

∴,

又，

則為等腰直角三角形，

∴，

又∵平面，平面，

∴，

由得平面，

∵平面，所以.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，.

由（1）知即為平面的一個(gè)法向量，

，

即與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】 已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)是否存在直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若直線存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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（2）求k的值；

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【題目】如圖所示，四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）設(shè)二面角為，，，求四棱錐的體積.

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【題目】已知國(guó)家某級(jí)大型景區(qū)對(duì)擁擠等級(jí)與每日游客數(shù)量（單位：百人）的關(guān)系有如下規(guī)定：當(dāng)時(shí)，擁擠等級(jí)為“優(yōu)”；當(dāng)時(shí)，擁擠等級(jí)為“良”；當(dāng)時(shí)，擁擠等級(jí)為“擁擠”；當(dāng)時(shí)，擁擠等級(jí)為“嚴(yán)重?fù)頂D”．該景區(qū)對(duì)6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

（1）下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出的值，并估計(jì)該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

游客數(shù)量（單位：百人）

天數(shù)

10

4

1

頻率

（2）某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級(jí)均為“優(yōu)”的頻率．

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【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為12．

（1）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)表示體重超過(guò)60公斤的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面.

（1）求證：平面；

（2）若，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積.

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（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（1）若高三獲得冠軍的概率為，求；

（2）記高三的得分為，求的分布列和期望.

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