【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣x,g(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵g(x)=ex﹣ax﹣1,∴g'(x)=ex﹣a
①若a≤0,g'(x)>0,g(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;
②若a>0,當(dāng)x∈(﹣∞,lna]時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.
(2)解:當(dāng)x>0時(shí),x2﹣x≤ex﹣ax﹣1,即
令 ,則
令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),則φ'(x)=x(ex﹣2)
當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增
又φ(0)=0,φ(1)=0,
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ(x)<0,即h'(x)<0,∴h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),φ(x)=(x﹣1)(ex﹣x﹣1>0,即h'(x)>0,
∴h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)min=h(1)=e﹣1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,e﹣1].
【解析】(1)求出g'(x)=ex﹣a,由a≤0和a>0分類(lèi)討論,由此能求出結(jié)果.(2)當(dāng)x>0時(shí), 令 ,則 令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),則φ'(x)=x(ex﹣2),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某班舉行的“慶五一”聯(lián)歡晚會(huì)開(kāi)幕前已排好有8個(gè)不同節(jié)目的節(jié)目單,如果保持原來(lái)的節(jié)目相對(duì)順序不變,臨時(shí)再插進(jìn)去三個(gè)不同的新節(jié)目,且插進(jìn)的三個(gè)新節(jié)目按順序出場(chǎng),那么共有__________種不同的插入方法(用數(shù)字作答).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況,從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷進(jìn)行成績(jī)分析,得到數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖(如圖所示),其中成績(jī)?cè)?/span>,的學(xué)生人數(shù)為6.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)試估計(jì)所抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù);
(Ⅲ)試根據(jù)樣本估計(jì)“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若集合A={x|2<x<3},B={x|(x+2)(x﹣a)<0},則“a=1”是“A∩B=”的____條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線的斜率為﹣6,求實(shí)數(shù)a;
(Ⅱ)若a=1,求f(x)的極值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科研課題組通過(guò)一款手機(jī)APP軟件,調(diào)查了某市1000名跑步愛(ài)好者平均每周的跑步量(簡(jiǎn)稱(chēng)“周跑量”),得到如下的頻數(shù)分布表
周跑量(km/周) | |||||||||
人數(shù) | 100 | 120 | 130 | 180 | 220 | 150 | 60 | 30 | 10 |
(1)在答題卡上補(bǔ)全該市1000名跑步愛(ài)好者周跑量的頻率分布直方圖:
注:請(qǐng)先用鉛筆畫(huà),確定后再用黑色水筆描黑
(2)根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本的平均數(shù)為,試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù)),并用平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征估計(jì)該市跑步愛(ài)好者周跑量的分布特點(diǎn)
(3)根據(jù)跑步愛(ài)好者的周跑量,將跑步愛(ài)好者分成以下三類(lèi),不同類(lèi)別的跑者購(gòu)買(mǎi)的裝備的價(jià)格不一樣,如下表:
周跑量 | 小于20公里 | 20公里到40公里 | 不小于40公里 |
類(lèi)別 | 休閑跑者 | 核心跑者 | 精英跑者 |
裝備價(jià)格(單位:元) | 2500 | 4000 | 4500 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計(jì)該市每位跑步愛(ài)好者購(gòu)買(mǎi)裝備,平均需要花費(fèi)多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A、F分別是橢圓C: + =1(a>b>0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PF⊥x軸時(shí),AF=2PF.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若橢圓C存在點(diǎn)Q,使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點(diǎn)P在第一象限),求直線AP與OQ的斜率之積;
(3)記圓O:x2+y2= 為橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”.若b= ,過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線,切點(diǎn)為M、N,直線MN的橫、縱截距分別為m、n,求證: + 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , , 分別為線段上的點(diǎn),且, , .
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角.
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