Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線方程；
（2）當a≤0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）問當a＞0時，函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在點P（x₀，f（x₀）），使得以P點為切點的切線l將y=f（x）的圖象分割成C₁，C₂兩部分，且C₁，C₂分別位于l的兩側(cè)（僅點P除外）？若存在，求出x₀的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，對a討論，分a=0，a＜0，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意討論判別式的符號；
（3）求出導數(shù)和切線的斜率，以及切線方程，令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），求出導數(shù)，求出a＞0，g（x）的單調(diào)性，即可判斷這樣的點P是否存在．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x²-x，f′（x）=

1

x

-2x-1，
函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線斜率為k=1-2-1=-2，
則函數(shù)f（x）在（1，-2）處的切線方程為y+2=-2（x-1），
即為y=-2x；
（2）f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

（x＞0），
①當a=0時，f′（x）=

1-x

x

，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
②當a＜0時，f′（x）=0，即-2ax²-x+1=0，
當△=1+8a≤0時，即a≤-

1

8

，-2ax²-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，即
f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增；
當△=1+8a＞0，即-

1

8

＜a＜0時，-2ax²-x+1=0的兩根為x₁=

-1+ 1+8a

4a

x₂=

-1- 1+8a

4a

，
f′（x）=

-2a(x-x1)(x-x2)

x

（x＞0）且x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂，
則0＜x＜x₁，f′（x）＞0，f（x）遞增，x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，a=0，f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
a≤-

1

8

時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
-

1

8

＜a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，

-1+ 1+8a

4a

），（

-1- 1+8a

4a

，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（

-1+ 1+8a

4a

，

-1- 1+8a

4a

）．
（3）f′（x）=

1

x

-2ax-1，P（x₀，f（x₀）），
在P點的切線方程為y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），且g（x₀）=0，
g′（x）=f′（x）-f′（x₀）=

1

x

-2ax-1-

1

x0

+2ax₀+1=-（x-x₀）•

1+2axx0

xx0

（x＞0），
由a＞0，當0＜x＜x₀，f′（x）＞0，g（x）遞增，
當x＞x₀，f′（x）＜0，g（x）遞減，
故g（x）≤g（x₀）=0，即f（x）≤f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
也就是y=f（x）的圖象永遠在切線的下方．
故不存在這樣的點P．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運用，同時考查分類討論的思想方法，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．