Question

設(shè)

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0）），（a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則a與b的關(guān)系式為

 

1

a

+

2

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,平行向量與共線向量,三點(diǎn)共線

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量共線定理可得：2a+b=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：

AB

=

OB

-

OA

=（a-1，1），

AC

=（-b-1，2）．
∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)k使得

AB

=k

AC

，
∴

a-1=k(-b-1) 1=2k

，
化為2a+b=1．
∵a，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=（2a+b）(

1

a

+

2

b

)=4+

b

a

+

4a

b

≥4+2

b a • 4a b

=8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=

1

2

時取等號．
故答案分別為：2a+b=1，8．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．