Question

4．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）在極坐標(biāo)系下寫出θ=0和θ=$\frac{π}{2}$時該直線上的兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，并畫出該直線；
（2）已知Q是曲線ρ=1上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的最短距離及此時Q的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將θ=0和θ=$\frac{π}{2}$分別代入直線l的極坐標(biāo)方程，求出ρ，從而得出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，畫出直線；
（2）分別求出直線l和曲線ρ=1的直角坐標(biāo)方程，要求圓上任意一點(diǎn)到直線l的最短距離，只要求圓心O（0，0）到直線l的距離即可．

解答 解：（1）直線l經(jīng)過A（2，0），$B（2，\frac{π}{2}）$兩點(diǎn)，
在極坐標(biāo)系下，直線如圖所示：
（2）曲線ρ=1化為直角坐標(biāo)方程得x²+y²=1，該曲線為單位圓，
將直線l的極坐標(biāo)方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$化為直角坐標(biāo)方程得x+y-2=0
要求圓上任意一點(diǎn)到直線l的最短距離，只要求圓心O（0，0）到直線l的距離即可．
由點(diǎn)到直線的距離公式得：$d=\frac{|0+0-2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
所以點(diǎn)Q到直線l的最短距離為$\sqrt{2}-1$，
此時，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為$Q（1，\frac{π}{4}）$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了圓上一點(diǎn)到直線的最短距離的求法，屬于中檔題．