11.以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$(a為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ
(1)求圓C的圓心極坐標(biāo)與半徑;
(2)判斷直線l與圓C的位置.

分析 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,可得圓C的直角坐標(biāo)方程,可得圓心的直角坐標(biāo),化為極坐標(biāo),以及半徑;
(2)求得直線l的普通方程,圓心C到直線的距離d>r,即可判斷直線和圓C的位置關(guān)系.

解答 解:(1)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,
可得ρ2=8ρsinθ,即有x2+y2=8y,
可得圓心為C(0,4),半徑為4,
即有圓C的圓心極坐標(biāo)為(4,$\frac{π}{2}$),半徑為4;
(2)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$(a為參數(shù)),
可得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-5-$\sqrt{3}$=0,
圓心C(0,4)到直線l的距離為d=$\frac{|-4-5-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$>4.
可得直線l和圓C相離.

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查圓的方程的運(yùn)用,同時(shí)考查直線參數(shù)方程和普通方程的互化,考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷,注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$.
(1)在極坐標(biāo)系下寫出θ=0和θ=$\frac{π}{2}$時(shí)該直線上的兩點(diǎn)的極坐標(biāo),并畫出該直線;
(2)已知Q是曲線ρ=1上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l的最短距離及此時(shí)Q的極坐標(biāo).

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5.已知定點(diǎn)A(7,0),B(1,0),平面上動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為λ(λ>0,且為常數(shù))
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說明方程表示的曲線;
(II)當(dāng)λ=2時(shí),記P點(diǎn)的軌跡與y軸交于M、N兩點(diǎn),若過點(diǎn)P做圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線l1、l2分別交y軸于H、K兩點(diǎn),在構(gòu)成三角形的條件下,求$\frac{{{S_△}_{PMN}}}{{{S_{△PHK}}}}$得最大值,并指出取得最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).

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2.如圖,長(zhǎng)為4的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸正半軸和y正半軸上滑動(dòng),T為AB的中點(diǎn),∠OAB=75°,當(dāng)線段AB滑動(dòng)到A1B1位置時(shí),∠OA1B1=45°.線段在滑動(dòng)時(shí)點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到T1點(diǎn),則點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的路程為$\frac{π}{3}$.

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(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)當(dāng)時(shí),圖像恒在的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別是,設(shè),求證:.[來

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16.已知集合A={x|$\frac{1}{2}$≤2x≤4},B={x|lg(x-1)≤1},則A∩B=(1,2].

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命題q:函數(shù)y=(2a2-a)x為增函數(shù).
分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍.
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(2)p∨q為真,p∧q為假.

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