Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）2﹣ ．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2 ， 證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

f'（x）=0x=1，當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增

（Ⅱ）證明： ，f（0）=1，不妨設(shè)x1＜x2，

又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，

又函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，

所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等價(jià)于f（x1）＜f（2﹣x2），

即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．

又 ，而 ，

所以

設(shè)g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，則g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g'（x）＞0，而g（1）=0，故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0．

而 恒成立，

所以當(dāng)x＞1時(shí)， ，

故x1+x2＞2．

【解析】（Ⅰ）利用導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的正負(fù)得到其增減性。（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論得到x1＞2﹣x2 即得于f（x1）＜f（2﹣x2）求出 f ( 2 x 2 )的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)g（x）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．