Question

【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．設(shè)集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率
（1）已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．設(shè)集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，求方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于 的橢圓的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為直線x= ，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且 ≤1，即2b≤a．若a=1，則b=﹣1；

若a=2，則b=﹣1或1；

若a=3，則b=﹣1或1．

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5．

而滿足條件的數(shù)對(duì)（a，b）共有3×5=15個(gè)

∴所求事件的概率為 =

（2）解：方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于 的橢圓，故

化簡(jiǎn)得

又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，

陰影部分的面積為 ，故所求的概率P=

【解析】(1)首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得其對(duì)稱軸再根據(jù)函數(shù)在指定區(qū)間上的增減性得出a、b之間的大小關(guān)系然后結(jié)合a、b分別是集合P和Q中的一個(gè)數(shù)據(jù)列舉出滿足a、b大小關(guān)系的情況再求出a、b取值的所有基本事件的個(gè)數(shù)為15，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可得解。（2）根據(jù)題意如圖所示作出不等式組的平面區(qū)域由已知可得概率等于陰影面積比上矩形的面積即可。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能得出正確答案．