Question

在△ABC中，BC=2

3

，D，E分別為邊AC，AB上的中點，|BD|+|CE|=6，BD與CE交于點G，以直線BC為x軸，邊BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，記動點G形成的曲線為C
（1）求曲線C的方程；
（2）P，Q為曲線C上的兩動點，且OP⊥OQ
①求證：點O到直線PQ的距離為定值；②求|PQ|_min．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得動點G的軌跡為以B，C為焦點的橢圓（去掉x軸上的兩點），由此能求出曲線C的方程．
（2）①設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），l_OP：y=kx，則lOQ：y=-

1

k

x，聯(lián)立

y=kx x2 4 +y2=1

，得：xP2=

4

1+4k2

，同理可得xQ2=

4k2

k2+4

，設點O到直線PQ的距離為h，由條件知OP•OQ=h•PQ，由此能證明h=

2 5

5

為定值．②PQ²=OP²+OQ²，由此利用均值定理能求出|PQ|_min．

解答： （1）解：∵|GB|+|GC|=

2

3

|BD|+

2

3

|CE|=4＞|BC|=2

3

，
∴動點G的軌跡為以B，C為焦點的橢圓（去掉x軸上的兩點），
∴曲線C的方程為：

x2

4

+y2=1（x≠0）．
（2）①證明：由（1）知直線OP，OQ的斜率存在，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），l_OP：y=kx，
則lOQ：y=-

1

k

x，
聯(lián)立方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，得：xP2=

4

1+4k2

，同理可得xQ2=

4k2

k2+4

，
設點O到直線PQ的距離為h，由條件知OP•OQ=h•PQ，
∴OP²•OQ²=h²•PQ²，
又PQ²=OP²+OQ²，∴h²=

OP2•OQ2

OP2+OQ2

．
又OP²=xP2+yP2=

4(1+k2)

1+4k2

，
OQ²=xQ2+yQ2=

4(1+k2)

k2+4

，∴

1

h2

=

1

OP2

+

1

OQ2

=

5

4

，
∴h=

2 5

5

為定值
②解：PQ²=OP²+OQ²=

20(1+k2)2

(k2+4)(1+4k2)

≥

20(1+k2)

[ 5 2 (1+k2)]2

=

16

5

，
等號成立當且僅當k²=1，
∴|PQ|_min=

4 5

5

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查點到直線的距離為定值的證明，考查線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．