Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1
（1）求函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值；
（2）函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+1-a²，所以對(duì)稱軸是x=a，所以討論對(duì)稱軸x=a和區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)求出每種情況下的f（x）的最小值即可．
（2）函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，則函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有2a＜x+$\frac{1}{x}$，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²；
①若a≥2，則函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最小值為f（2）=5-4a；
②若$\frac{1}{2}$＜a＜2，f（x）的最小值為f（a）=1-a²；
③若a≤$\frac{1}{2}$，f（x）在$\frac{1}{2}$，2]]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$a．
（2）函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）＞0，則函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]上恒有2a＜x+$\frac{1}{x}$，
因?yàn)閤∈[$\frac{1}{2}$，2]，所以x+$\frac{1}{x}$$∈[2，\frac{5}{2}$]，
所以2a＜2，
所以a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求二次函數(shù)最值的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸的關(guān)系．