Question

如圖，A是兩條平行直線l₁，l₂之間的一個定點，且A到l₁，l₂的距離分別為AM=1，AN=2，設(shè)△ABC的另兩個頂點B，C分別在l₁，l₂上運動，且AB＜AC，

AB

cos∠ABC

=

AC

cos∠ACB

，則以下結(jié)論正確的序號是

 

．
①△ABC是直角三角形；
②

1

AB

+

2

AC

的最大值為

2

；
③（S_{四邊形MBCN}）_min=（S_△ABC）_min+（S_△AMB+S_△ACN）_min；
④設(shè)△AMB的周長為y₁，△ACN的周長為y₂，則（y₁+y₂）_min=10．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：①由正弦定理得：

AB

AC

=

sinC

sinB

=

cosB

cosC

，則可求得sin2C=sin2B，進而根據(jù)∵AB≠AC，進而求得A+B的值，則A的值可求得．
②設(shè)∠BAM=θ(0＜θ＜

π

2

)，則可分別表示出∠CNA，AB，AC，MB，CN，
則

1

AB

+

2

AC

可表示出來，利用兩角和公式整理后利用三角函數(shù)性質(zhì)求得其最大值；
③分別運用θ表示出四邊形MBCN，和三角形ABC的面積利用基本不等式求得其最小值；
用θ表示出y₁+y₂，令t=tan

θ

2

(0＜t＜1)，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值．

解答： 解：①由正弦定理得：

AB

AC

=

sinC

sinB

=

cosB

cosC

，則sin2C=sin2B，又∵AB≠AC，∴B+C=

π

2

，A=

π

2

，
所以①正確；
②設(shè)∠BAM=θ(0＜θ＜

π

2

)，則∠CAN=

π

2

-θ，AB=

1

cosθ

，AC=

2

sinθ

，MB=tanθ，CN=2cotθ，
則

1

AB

+

2

AC

=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，(

1

AB

+

2

AC

)max=

2

，所以②正確；
③S四邊形MBCN=

3

2

(tanθ+2cotθ)≥3

2

，S△ABC=

2

sin2θ

≥2S△AMB+S△ACN=

1

2

(4cotθ+tanθ)≥2，所以③錯誤；
④y1+y2=3+

1+sinθ

cosθ

+

2(1+cosθ)

sinθ

=3+

sin θ 2 +cos θ 2

cos θ 2 -sin θ 2

+

2cos θ 2

sin θ 2

，
令t=tan

θ

2

(0＜t＜1)，y1+y2=3+

t+1

1-t

+

2

t

≥10（當(dāng)t=

1

2

時取等），所以④正確．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，兩角和公式的應(yīng)用，函數(shù)思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．