Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2

x-1

．
（1）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，即取值、作差、變形、定號、下結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）知函數(shù)y在[2，6]上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值和最小值．

解答： 證明：（1）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
由1＜x₁＜x₂得，x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）=

2

x-1

在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)的最大值f（x）_max=f（2）=2，
當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)的最小值f（x）_min=f（6）=

2

5

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，及根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．