Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2|x+1|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞4．
（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）分類討論，去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，x=2是方程f（x）=3x+4的解，即|2-a|+6=6+4，求得a=6，或 a=-2．檢驗(yàn)可得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＞4，即|x-2|+2|x+1|＞4，
∴①

x＜-1 -3x＞4

，或 ②

-1≤x＜2 x+4＞4

，或 ③

x≥2 3x＞4

．
解①求得x＜-

4

3

，解②求得x＞0，解③求得x≥2，
故原不等式的解集為{x|x＜-

4

3

，或 x＞0}．
（2）不等式f（x）＜3x+4，即|x-a|+2|x+1|＜3x+4，
∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x=2是方程f（x）=3x+4的解，
即|2-a|+6=6+4，求得a=6，或 a=-2．
當(dāng)a=6時(shí)，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，滿足題意；
當(dāng)a=-2時(shí)，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不滿足題意，故a=-2應(yīng)該舍去．
綜上可得，a=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．