【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (其中常數(shù)a>0,且a≠1).
(1)當a=10時,解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2 );
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一個與a無關(guān)的常數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=

①當x<0時,f(x)= >3.因為m>2

則當2 <m≤3時,方程f(x)=m無解;

當m>3,由10x= ,得x=lg

②當x≥0時,10x≥1.由f(x)=m得10x+ =m,

∴(10x2﹣m10x+2=0.

因為m>2 ,判別式△=m2﹣8>0,解得10x=

因為m>2 ,所以 >1.

所以由10x= ,解得x=lg

=1,得m=3.

所以當m>3時, = =1,

當2 <m≤3時, = =1,解得x=lg

綜上,當m>3時,方程f(x)=m有兩解x=lg 和x=lg ;

當2 <m≤3時,方程f(x)=m有兩解x=lg


(2)解:①若0<a<1,

當x<0時,0<f(x)= <3;

當0≤x≤2時,f(x)=ax+

令t=ax,則t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上單調(diào)遞減,

所以當t=1,即x=0時f(x)取得最小值為3.

當t=a2時,f(x)取得最大值為

此時f(x)在(﹣∞,2]上的值域是(0, ],沒有最小值.

②若a>1,

當x<0時,f(x)= >3;

當0≤x≤2時f(x)=ax+

令t=ax,g(t)=t+ ,則t∈[1,a2].

①若a2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上單調(diào)遞減,

所以當t=a2即x=2時f(x)取最小值a2+ ,最小值與a有關(guān);

②a2 ,g(t)=t+ 在[1, ]上單調(diào)遞減,在[ ,a2]上單調(diào)遞增,

所以當t= 即x=loga 時f(x)取最小值2 ,最小值與a無關(guān).

綜上所述,當a≥ 時,f(x)在(﹣∞,2]上的最小值與a無關(guān).


【解析】(1)當a=10時,脫掉絕對值,寫出f(x)的分段函數(shù),根據(jù)分段函數(shù)在相應的區(qū)間所對應的解析式進行求解,(2)根據(jù)題意有,對a進行分類討論,①a>1時,②0<a<1時,兩種情況分析,每種情況下根據(jù)絕對值,再按照x≥0時,和-2≤x<0兩種情況討論,最后可得結(jié)論.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,平面ABEF⊥平面ABC,四邊形ABEF為矩形,AC=BC.O為AB的中點,OF⊥EC.

(1)求證:OE⊥FC:
(2)若 時,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是 .(填序號,只有一個正確選項)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓C的圓心(2,0),點A(﹣1,1)在圓C上,則圓C的方程是;以A為切點的圓C的切線方程是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
①x>1時,f(x)<0;
②f( )=1;
③對任意的正實數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求證:f( )=﹣f(x);
(2)求證:f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù);
(3)求滿足不等式f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2的m集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點P為DD1的中點.
(1)求證:直線BD1∥平面PAC
(2)求證:平面PAC⊥平面BDD1B1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為( ,0)
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+ 與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且 >2(其中O為原點).求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知命題p:函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);命題q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對任意實數(shù)x恒成立.若p∨q為真命題,且p∧q為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和 . (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若 ,求數(shù)列{anbn2}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

同步練習冊答案