Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}-a}}{x}$-alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1+xlnx}{e^x}$，證明：0＜g（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{{x}^{2}}[（x-1）（{e}^{x}-a）]$，根據(jù)0＜a≤1，1＜a＜e，a=e，a＞e進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）0＜g（x）＜1等價于1+xlnx＞0，且$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明0＜g（x）＜1．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}$=$\frac{{（{x-1}）{e^x}+a}}{x^2}-\frac{ax}{x^2}$
=$\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）{e^x}+a-ax}]$=$\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$
（1）當(dāng)0＜a≤1時，e^x＞a，當(dāng)x∈（0，1），f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞），f'（x）＞0；
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)1＜a＜e時，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
由f'（x）＜0得lna＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜lna或x＞lna，
所以f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．
（3）當(dāng)a=e時，令e^x=a，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增．
（4）當(dāng)a＞e時，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），
由f'（x）＜0得1＜x＜lna，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞lna，
所以f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，lna）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)1＜a＜e時，f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=e時，f（x）在（0，+∞）上遞增．
當(dāng)a＞e時，f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，lna）上單調(diào)遞減．
證明：（Ⅱ）0＜g（x）＜1?$0＜\frac{1+xlnx}{e^x}＜1?$1+xlnx＞0①且$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}$②
先證①：令h（x）=1+xlnx，則h（x）=1+lnx，
當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
所以$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）$=$1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}$=$1-\frac{1}{e}＞0$，故①成立！
再證②：由（Ⅰ），當(dāng)a=1時，$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）≥f（1）=e-1＞0，故②成立！
綜上，0＜g（x）＜1恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．