Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=1，S₅=15，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足T_n=（n+5）a_n
（1）求a_n
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（2）運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，b₁=T₁；n≥2時，b_n=T_n-T_n-1．可得b_n=2n+4，則$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₂=1，S₅=15，即為a₁+d=2，5a₁+$\frac{1}{2}$×5×4d=15，
解得a₁=d=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；
（2）T_n=（n+5）a_n=n（n+5），
當(dāng)n=1時，b₁=T₁=6；
n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=n（n+5）-（n-1）（n+4）=2n+4，
上式對n=1也成立．
則$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$}的前n項和為$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1$+\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4（n+1）}$-$\frac{1}{4（n+2）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列遞推式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．