Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+lnx，若方程f（x）=a有兩個不同的根x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，從而確定0＜x₁＜1＜x₂，作f（2-x₁）-f（x₂），利用換元法可證明f（2-x₁）-f（x₂）＜0，從而可得2-x₁＜x₂，從而得證．

解答： 證明：函數(shù)f（x）=

1

x

+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂，
則2-x₁＞1，
而f（2-x₁）-f（x₂）
=f（2-x₁）-f（x₁）
=

1

2-x1

+ln（2-x₁）-

1

x1

-ln（x₁）
=

2(x1-1)

(2-x1)x1

+ln

2-x1

x1

，
令

2-x1

x1

=t，則t＞1，x₁=

2

1+t

，
故原式=F（t）=

1-t2

2t

+lnt，
故F′（t）=

-t2+2t-1

2t2

＜0，
故F（t）=

1-t2

2t

+lnt在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故F（t）＜F（1）=0，
故f（2-x₁）-f（x₂）＜0，
又∵f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2-x₁＜x₂，
故x₁+x₂＞2．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，同時考查了換元法，屬于難題．