Question

5．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ACB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時(shí)，求直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A₁B∩AB₁=O，連接OD，利用三角形的中位線定理可得：A₁C∥OD，利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：當(dāng)AC=BC，三角形ABC為正三角形時(shí)取最大值，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （1）證明：如圖，
設(shè)A₁B∩AB₁=O，連接OD，
則OD為三角形A₁BC的中位線，
∴A₁C∥OD，OD⊆平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，
∵$4=A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•cos\frac{π}{3}≥$2AC•BC-AC•BC=AC•BC，
∴當(dāng)AC=BC，三角形ABC為正三角形時(shí)面積取最大值，
以D為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B₁（0，-1，2），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2）$，
∴$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overline{D{B}_{1}}$=（0，-1，2），$\overline{D{A}_{1}}=（\sqrt{3}，0，2）$，
設(shè)平面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=2．
∴$\overrightarrow{n}=（0，2，1）$，
則直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值為sinθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$|=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了空間想象能力，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，屬于中檔題．