Question

10．若0＜a＜1，0＜b＜1，且滿足（1-a）b²+a（1-b）²+ka（1-a）≥0恒成立的k的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 將不等式轉(zhuǎn)化為$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$+k≥0，令t=（a+1-a）（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$），展開運(yùn)用基本不等式即可求得最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1-a）b²+a（1-b）²+ka（1-a）≥0即為
$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$+k≥0，（0＜a＜1，0＜b＜1）
即有（a+1-a）（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$）≥-k，
令t=（a+1-a）（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{（1-b）^{2}}{1-a}$）=b²+（1-b）²+$\frac{{（1-a）b}^{2}}{a}$+$\frac{a（1-b）^{2}}{1-a}$
≥b²+（1-b）²+2b（1-b）=（b+1-b）²=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a（1-b）=b（1-a）即a=b，取得等號(hào)．
則有t的最小值為1．
即有-k≤1，
解得k≥-1．
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題的方法，注意觀察不等式的特點(diǎn)和運(yùn)用乘1法和基本不等式是解題的關(guān)鍵．