Question

18．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點為F，斜率為$\sqrt{3}$的直線過F與橢圓交于M、N兩點，且$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 直線MN的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0．由$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，可得-c-x₁=2（x₂+c），再利用根與系數(shù)的關系、離心率計算公式即可得出．

解答 解：直線MN的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=\sqrt{3}（x+c）}\end{array}\right.$，化為（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FN}$，∴-c-x₁=2（x₂+c），化為x₁+2x₂=-3c．
聯(lián)立化為：$\frac{（3{a}^{2}c-3^{2}c）（3^{2}c+3{a}^{2}c）}{（^{2}+3{a}^{2}）^{2}}$=$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$，
設$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=x≠0，化為9（1-x）（1-x）（1+x）=（3-4x）（x+3），
化為9x³-5x²=0，
解得x=$\frac{5}{9}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{9}}$=$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．