Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與雙曲線5x²-$\frac{5}{4}$y²=1有相同的焦點，且二者的離心率之積是1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知雙曲線化為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1，可得焦點（±1，0），離心率為$\sqrt{5}$，對于橢圓C：設半焦距為c，則c=1，$\frac{c}{a}×\sqrt{5}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可；
（II）設直線的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為9x²+10mx+5m²-20=0，利用根與系數(shù)的關系可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（I）由雙曲線5x²-$\frac{5}{4}$y²=1化為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1，
可得焦點（±1，0），離心率為$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{5}}}$=$\sqrt{5}$，
對于橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，設半焦距為c，
則c=1，$\frac{c}{a}×\sqrt{5}$=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得c=1，a=$\sqrt{5}$，b=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（II）設直線的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為9x²+10mx+5m²-20=0，
由△=（10m）²-4×9×（5m²-20）＞0，化為m²＜9，解得-3＜m＜3．
則x₁+x₂=-$\frac{10m}{9}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-20}{9}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x₁x₂+m$（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=$2×\frac{5{m}^{2}-20}{9}$+m×$（-\frac{10m}{9}）$+m²=${m}^{2}-\frac{40}{9}$，
∴當m=0時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值-$\frac{40}{9}$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關系、向量數(shù)量積坐標運算、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．