Question

18．已知命題P：方程x²+mx+1=0有兩個不等的負(fù)實根．命題Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根．若“P或Q”為真，“P且Q”為假，則實數(shù)m的取值范圍是（1，2]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 利用一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法可得命題P與Q的m的取值范圍，再由“P或Q”為真，“P且Q”為假，可得P與Q必然一個為真一個為假．即可得出．

解答 解：命題P：方程x²+mx+1=0有兩個不等的負(fù)實根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
命題Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根．△=16（m-2）²-16＜0，解得：1＜m＜3．
若“P或Q”為真，“P且Q”為假，
∴P與Q必然一個為真一個為假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得1＜m≤2，或m≥3．
則實數(shù)m的取值范圍是（1，2]∪[3，+∞）．
故答案為：（1，2]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．