Question

對任意的θ∈R，不等式sin²θ+2mcosθ-2m-2＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，根據(jù)已知條件，等價(jià)轉(zhuǎn)化成cos²θ-2mcosθ+2m+1＞0恒成立，然后，換元法t=cosθ，-1≤t≤1，設(shè)函數(shù)g（t）=t²-2mt+2m+1，對其對稱軸進(jìn)行討論．

解答： 解：對任意的θ∈R，不等式sin²θ+2mcosθ-2m-2＜0恒成立，
即1-cos²θ+2mcosθ-2m-2＜0恒成立，
得cos²θ-2mcosθ+2m+1＞0恒成立，-------（2分）
由θ∈R，則-1≤cosθ≤1
設(shè)t=cosθ，則-1≤t≤1，
設(shè)g（t）=t²-2mt+2m+1，-1≤t≤1，
關(guān)于t=m對稱------（4分）
（1）當(dāng)m≤-1時(shí)，g（t）在t∈[-1，1]上為增函數(shù)，
則g（t）_min=g（-1）=4m+2＞0，
得m＞-

1

2

，與題設(shè)不符，舍；----（6分）
（2）當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，g(t)min=g(m)=-m2+2m+1＞0，
得1-

2

＜m＜1+

2

，
所以1-

2

＜m＜1------（8分）
（3）當(dāng)m≥1時(shí)，g（t）在t∈[-1，1]上為減函數(shù)，
則g（t）_min=g（1）=2＞0，成立-------（10分）
綜上，m＞1-

2

---------（12分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系、二次函數(shù)等知識的綜合運(yùn)用，屬于中檔題，重點(diǎn)考查了分類討論思想在解題中應(yīng)用，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握討論的“類”，做到不重不漏．