Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+1，等差數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=2a₂．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=S_n+1，n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1．相減可得a_n+1=2a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．等差數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=2a₂=4．可得公差d=4-1=3．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（Ⅱ）a_n•b_n=（3n-2）•2^n-1．利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（I）a_n+1=S_n+1，n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1．
∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1．
∴a_n=2^n-1．
等差數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=2a₂=4．
∴公差d=4-1=3．
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2．
（Ⅱ）a_n•b_n=（3n-2）•2^n-1．
∴T_n=1+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1．
∴2T_n=2+4×2²+…+（3n-5）•2^n-1+（3n-2）•2ⁿ，
∴-T_n=1+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ=1+3×$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n-2）•2ⁿ，
可得：T_n=（3n-5）•2ⁿ+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．