Question

16．已知a∈R，解關于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0．

Answer 1

分析 根據題意，討論a的范圍解對應不等式解集的情況，從而寫出不等式的解集．

解答 解：當a≠1時，關于x的方程（a-1）x²+（2a+3）x+a+2=0，
△=（2a+3）²-4（a-1）（a+2）=8a+17，
當a＞-$\frac{17}{8}$時，關于x的方程有兩個不相等的實根x₁=$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$，x₂=$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$
當a=-$\frac{17}{8}$時，方程有兩個相等的實根x=-$\frac{1}{5}$；
當a＜-$\frac{17}{8}$時，方程沒有實根；
∴關于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解如下：
當a＜-$\frac{17}{8}$時，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為R；
當a=-$\frac{17}{8}$時，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為{x|x≠-$\frac{1}{5}$}；
當1＞a＞-$\frac{17}{8}$時，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為
{x|x＞$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$或x＜$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$}；
當a=1時，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為{x|x＜-$\frac{3}{5}$}；
當a＞1時，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為
{x|$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$＜x＜$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$}．

點評 本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．