Question

（2005•湖南）設(shè)函數(shù)f （x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

（n∈N^*），
（i）y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積為

4

3

；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面積為

π+

2

3

．

Answer 1

分析：（i）函數(shù)y=sinnx與函數(shù)y=sin3x類比，可以得出函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積，得出函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積是函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積的兩倍，從而得出函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積．
（ii）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+1，同理可求．

解答：解：（i）∵函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

（（n∈N₊），∴對于函數(shù)y=sin3x而言，n=3，
∴函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積為：

2

3

，則函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積為

2

3

×2=

4

3

（ii）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+1，∴y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面積為π+

2

3

故答案為：

4

3

，π+

2

3

點評：在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯(lián)想，我們在解題中，要進一步通過概念類比、性質(zhì)類比、結(jié)構(gòu)類比以及方法類比等思維訓(xùn)練途徑，來提高類比推理的能力，培養(yǎng)探究創(chuàng)新精神．