Question

10．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點．證明A₁，C₁，F(xiàn)，E四點共面，并求直線CD₁與平面A₁C₁FE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D為原點建立坐標系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$和$\overrightarrow{EF}$的坐標，利用向量共線定理得出四點共面，求出$\overrightarrow{C{D}_{1}}$和平面A₁C₁FE的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線CD₁與平面A₁C₁FE所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞|．

解答 解：以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示：
則A₁（2，0，1），C₁（0，2，1），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）．D₁（0，0，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=2$\overrightarrow{EF}$．∵A₁，C₁，E，F(xiàn)四點不共線，
∴A₁C₁∥EF，
∴A₁，C₁，F(xiàn)，E四點共面．
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，1）．
設平面A₁C₁FE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直線CD₁與平面A₁C₁FE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查了線面角的計算，多采用空間向量法來解決問題．屬于中檔題．