Question

已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點B到平面EFG的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解析：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點． 　　BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾． 　　由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．——4分 　　∵BD⊥AC， 　　∴EF⊥HC． 　　∵GC⊥平面ABCD， 　　∴EF⊥GC， 　　∴EF⊥平面HCG． 　　∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．——6分 　　作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．——8分 　　∵正方形ABCD的邊長為4，GC＝2， 　　∴AC＝4，HO＝，HC＝3． 　　∴在Rt△HCG中，HG＝． 　　由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG． 　　∴OK＝． 　　即點B到平面EFG的距離為．——10分 　　注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分．