Question

14．拋物線x²=-6by的準線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右支分別交于B、C兩點，A為雙曲線的右頂點，O為坐標原點，若∠AOC=∠BOC，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出點C的坐標，再得到∠AOC=∠BOC=60°，根據(jù)斜率公式得到$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{3}$，再根據(jù)離心率公式計算即可．

解答 解：拋物的準線為y=$\frac{3}{2}$b，
∴點B（-$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），C（$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴k_OC=$\frac{3\sqrt{13}a}{13b}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{13}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點評 本題考查了拋物線和雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．