Question

4．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是“今有蒲草第一天長高3尺，菀草第一天長高1尺．以后蒲草每天長高前一天的一半，而菀草每天長高前一天的2倍，問多少天蒲草和菀草高度相同？”根據(jù)上述已知條件，可求得第2.6天，蒲草和菀草高度相同．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，結(jié)果精確到0.1）

Answer 1

分析 由題意可利用等比數(shù)列的求和公式可得：$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，化為：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，解出即可得出．

解答 解：由題意可得：$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，化為：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
∴估計2.6日蒲、莞長度相等，
故答案為：2.6．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．