Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n=n²，{b_n}為等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

anan+1

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1n≥2

可求得a_n，易求b₁，由b₂（a₂-a₁）=b₁可求b₂，從而可得公比，進而可得b_n；
（2）由（1）可得cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，由裂項相消法可求得T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
故{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，即{a_n}是a₁=1，公差d=2的等差數列．
設{b_n}的公比為q，則b₁=a₁=1，又b₂（a₂-a₁）=b₁，
∴b2=

1

2

∴q=

1

2

，
故bn=b1qn-1=1×

1

2n-1

，即{bn}的通項公式為bn=

1

2n-1

．
（2）∵a_n=2n-1，
∴cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式及數列求和問題，裂項相消法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．