Question

5．已知函數(shù)f（x）=xe^x，g（x）=ax-1
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g（x）＞f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題等價(jià)于a＞（e^x+$\frac{1}{x}$）在[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，令h（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，通過討論h（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（1+x）e^x，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）．
（2）對任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g（x）＞f（x）恒成立，
等價(jià)于a＞e^x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
令h（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，則h′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
h″（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{3}}$＞0，
∴h′（x）在[$\frac{1}{2}$，1]遞增，
∴h′（x）的最小值是h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-4＜0，
h′（x）的最大值是h（1）=e-1＞0，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上先遞減再遞增，
∴a＞${[h（\frac{1}{2}）或h（1）]}_{max}$，
而h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2，h（1）=e+1，
∴a＞e+1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．