Question

15．函數y=3sinx+4cosx（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的值域是[$\frac{5}{2}$，5]，取最大值時tanx的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦公式，把函數化為一個角的一個三角函數的形式，由正弦函數的性質可得結論．

解答 解：函數y=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{4}{3}$．$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，
則∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴x+θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
則當x+θ=$\frac{π}{2}$時，函數取得最大值為5，此時x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
當x+θ=$\frac{5π}{6}$時，函數取得最小值為$\frac{5}{2}$，
故函數的值域為[$\frac{5}{2}$，5]，
當x+θ=$\frac{π}{2}$時，函數取得最大值為5，此時x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：[$\frac{5}{2}$，5]；$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查兩角差的正弦公式的應用，以及正弦函數的最值，利用輔助角公式化簡函數的解析式，是解題的關鍵．