Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6（x∈R）．
（1）求函數(shù)的最小值為0時(shí)的a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的值均為非負(fù)值，求函數(shù)g（a）=2-a|a+3|的值域；
（3）若對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由△=0⇒2a²-a-3=0，解方程求出即可；
（2）由△≤0⇒-1≤a≤

3

2

，從而得到g（a）的定義域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為?x∈[0，2]，f（x）_max-f（x）_min≤1，通過(guò)討論a的范圍，解不等式，求出即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），
∴△=16a²-4（2a+6）=0⇒2a²-a-3=0∴a=-1或a=

3

2

；
（2）對(duì)一切x∈R，函數(shù)值均非負(fù)，
∴△=8（2a²-a-3）≤0⇒-1≤a≤

3

2

，∴a+3＞0，
∴g（a）=2-a（a+3）=-a²-3a+2=-（a+

3

2

）²+

17

4

（a∈[-1，

3

2

]）；
∵二次函數(shù)g（a）在[-1，

3

2

]上單調(diào)遞減，
∴g（a）_min=f（

3

2

）=-

19

4

，g（a）_max=f（-1）=4，
∴g （a）的值域?yàn)閇-

19

4

，4]；
（3）若對(duì)?x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1成立
??x∈[0，2]，f（x）_max-f（x）_min≤1，
a≤0時(shí)，f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（0）=4-8a≤1，解得：a≥

3

8

（舍），
0＜a≤

1

2

時(shí)，f（2）-f（2a）=4a²-8a+4≤1，解得：

1

2

≤a≤

3

2

，∴a=

1

2

，

1

2

＜a≤1時(shí)，f（0）-f（2a）=4a²≤1，解得：-

1

2

≤a≤

1

2

（舍），
a＞1時(shí)，f（0）-f（2）=8a-4≤1，解得：a≤

5

8

（舍），
綜上：實(shí)數(shù)a的范圍是{

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．